Question

已知f（x）=lnx，g（x）=13x3+12x2+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）（1）求直

已知f（x）=lnx，g（x）=13x3+12x2+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的值域．

Answer 1

（1）直线l是函数f（x）=lnx在点（1，0）处的切线，故其斜率k=f′（1）=1，
所以直线l的方程为y=x-1．（2分）
又因为直线l与g（x）的图象相切，
所以g(x)＝

1

3

x3+

1

2

x2+mx+n在点（1，0）的导函数值为1．

g(1)＝0 g′(1)＝1

?

m＝?1 n＝ 1 6

所以g(x)＝

1

3

x3+

1

2

x2?x+

1

6

（6分）

（2）因为h（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x²-x+1（x＞0）（7分）
所以h′(x)＝

1

x

?2x?1＝

1?2x2?x

x

＝?

(2x?1)(x+1)

x

（9分）
当0＜x＜

1

2

时，h′（x）＞0；当x＞

1

2

时，h′（x）＜0（11分）
因此，当x＝

1

2

时，h（x）取得最大值h(

1

2

)＝

1

4

?ln2（12分）
所以函数h（x）的值域是(?∞，

1

4

?ln2]．（13分）