Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，则点B到平面AMN的距离是______

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，则点B到平面AMN的距离是______．

Answer 1

连接AC、BD交于点O，连接A₁C₁与MN的交点为E，
连接AE、B₁D₁，作OH⊥AE于H，
可得OH即是点B到平面AMN的距离．下面进行证明
∵△A₁B₁D₁中，M、N分别是棱A₁B₁、A₁D₁的中点，
∴MN∥B₁D₁
∵B₁D₁∥BD
∴MN∥BD
∵MN?平面AMN，BD?平面AMN
∴BD∥平面AMN
点B到平面AMN的距离，即为直线BD到平面AMN的距离
∵AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD
∴BD⊥AA₁
又∵BD⊥AC，AC∩A₁A=A，AC、A₁A?平面AA₁C₁C
∴BD⊥平面AA₁C₁C
∵MN∥BD
∴MN⊥平面AA₁C₁C
∵OH?平面AA₁C₁C
∴OH⊥MN
又∵OH⊥AE，MN∩AE=E，MN、AE?平面AMN
∴OH⊥平面AMN
OH即为直线BD到平面AMN的距离
∴OH即是点B到平面AMN的距离．
∵在正方形A₁B₁C₁D₁中，边长为1，
M、N分别是A₁B₁、A₁D₁的中点
∴A₁E=

1

4

A₁C₁=

2

4

∴Rt△A₁AE中，AE=

A 1A 2+A1E2

=

12+( 2 4 )2

=

3

4

2

在Rt△HAO中，AO=

1

2

AC=

2

2

∵∠HAO=∠A₁EA=90°-∠A₁AE
∴Rt△A₁EA∽Rt△HAO
∴

AA 1

OH

=

AE

AO

?OH=<