Question

已知函数f（x）=x2+ax+2在区间[1，+∞）上单调递增（1）求a的取值范围；（2）当a取最小值时，求y=x3过点P

已知函数f（x）=x2+ax+2在区间[1，+∞）上单调递增（1）求a的取值范围；（2）当a取最小值时，求y=x3过点P（-a，0）的切线方程．

Answer 1

（1）求导得：f′（x）=2x+a，因为f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以当x≥1时，
f′（x）≥0恒成立，即a≥-2x，只要a≥（-2x）_max=-2即可．
所以a的取值范围是：a≥-2．（或者由二次函数性质得出也可）
（2）由（1）知a的最小值为-2，设f（x）上一点Q（x₁，y₁），f（x）在Q处的切线的斜率为3x₁²，其切线y-x₁²=3x₁²（x-x₁）经过点P（2，0），
所以0-x₁²=3x₁²（2-x₁），解得：x₁=0或x₁=3
分别代入切线方程得过P点的切线方程为：y=27x-54或y=0．