Question

已知函数f（x）=lnx+1?xax，其中a为大于零的常数．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范

已知函数f（x）=lnx+1?xax，其中a为大于零的常数．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间[2，+∞）上的最小值．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=lnx+

1?x

ax

，
∴f′(x)＝

ax?1

ax2

，x＞0．…（2分）
∵函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥

1

x

在[1，+∞）上恒成立．
又∵当x∈[1，+∞）时，

1

x

≤1，
∴a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）．…（4分）
（2）令f′（x）=0，得x=

1

a

，…（5分）
当

1

a

≤2时，即a≥

1

2

时，
∵f′（x）＞0在[2，+∞）上恒成立，
这时f（x）在[2，+∞）上为增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝ln2?

1

2a

．…（7分）
当0＜a＜

1

2

时，∵对于x∈[2，

1

a

)，有f′（x）＜0；对于x∈(

1

a

，+∞)有f′（x）＞0．…（9分）
∴f(x)min＝f(

1

a

)＝ln

1

a

+1?

1

a

．…（11分）
综上，f（x）在[2，+∞）上的最小值为：
①当a≥

1

2

时，f(x)min＝f(2)＝ln2?

1

2a

．
②当0＜a＜

1

2

时，f(x)min＝f(

1

a

)＝ln

1

a

+1?

1

a

．…（12分）