Question

如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐

如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求抛物线的解析式及直线AC的解析式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x²+bx+c，
得b=-2，c=-3；
∴y=x²-2x-3．
将C点的横坐标x=2代入y=x²-2x-3，
得y=-3，
∴C（2，-3）；
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1．

（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2），
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（x，x²-2x-3）；
∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x²-2x-3）=-x²+x+2，
∴当x=

1

2

时，PE的最大值=

9

4

．

（3）存在4个这样的点F，分别是F₁（1，0），F₂（-3，0），F₃（4+

7

，0），F₄（4-

7

，0）．
①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，
∵C（2，-3），G（0，-3）
∴CG∥X轴，此时AF=CG=2，
∴F点的坐标是（-3，0）；

②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；

③如图，此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1±

7

，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=-x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+

7

．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+

7

，0）；

④如图，同③可求出F的坐标为（4-

7

，0）；

综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．