Question

菱形ABCD中，E为AB中点，且DE垂直AB，AB=a，求（1）角ABC的度数（2）求对角线AC的长（3）菱形ABCD面积

Answer 1

（1）
∵四边形ABCD为菱形，E是AB的中点
∴AE=1/2AB=1/2AD
∵ DE⊥AB
∴cos∠DAE=1/2,∠DAE=60°
∵∠ABC+∠DAE=180°(平行四边形性质）
∴∠ABC=120°
（2）
连接BD交AC于F
∵ AD=AB,∠DAE=60°
∴BD=AB=AD=a
∵AC,BD为菱形的对角线
∴BF=1/2BD=1/2a，AC⊥BD(菱形的性质，对角线互相垂直，且互相平分）
∵ AF^2=a^2-(1/2a)^2(勾股定理）
∴AF=√3/2*a
∴AC=2AF=2*√3/2=√3*a
（3）
∵ DE垂直于AB,DE=cos60°*a=√3/2*a
∴菱形ABCD的面积为AB*DE=√3/2*a^2

Answer 2

120度 E为AB中点，且DE垂直AB，说明AB上的中线、垂直平分线、高线三线合一重合，从而说明ABD是等边三角形，所以角ABD=60度，角ABC=120。DB=AB=a
(2)根据菱形的性质，对角线垂直平分，利用勾股定理计算出长对角线的一半=√3a/2，即长对角线=√3a
（3）菱形分为两个三角形计算：√3a*a/2*2=√3a^2/2