Question

数学中考选择难题

24 已知:如图，直线MN切⊙O于点C，AB为⊙O的直径，
延长BA交直线MN于M点，AE⊥MN，BF⊥MN，E、F
分别为垂足，BF交⊙O于G，连结AC、BC，过点C作
CD⊥AB，D为垂足,连结OC、CG.
下列结论：其中正确的有 .
①CD=CF=CE； ②EF2=4AE•BF;
③AD•DB=FG•FB； ④MC•CF=MA•BF.
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④

强调必须给出简要证明或思路，否则一律不采纳

Answer 1

选D，
（1）AE//DC//BF,AO=BO可得CE=CF，证三角形BCD、BDF全等可得CD=CF
（2）证三角形ACE、CBF相似，可得CE•CF=AE•BF，而CE=CF=1/2EF，EF2=4AE•BF
（3）证三角形ADE、CDB相似，可得CD^2=AD•DB,由切割线定线可得CF^2=FG•FB，而CD=CF，故AD•DB=FG•FB
（4）证三角形ACM、CBM相似，可得MC：MA=BC：AC，三角形ACE、CBF相似，可得BC：AC=BF：CE，而CE=CF，故MC：MA=BF：CF，MC•CF=MA•BF.

Answer 2

(1)CE=CF 由梯形的中位线可知，MN是切线，故角ACE=角ABC，又角ABC+角BAC=90，角BAC+角ACD=90，所以角ABC=角ACD=角ACE,故在直角三角形CAD和直角三角形CAE：两组对应角相等，AC共用，故由AAS定理知 这两个三角形全等，所以CE=CD，所以CE=CD=CF ，所以1正确。