Question

高中物理力学

如图,水平光滑地面上,匀质杆质量为M,长L,力F作用于杆的一端,大小不变,方向恒垂直于杆且水平.杆将怎样运动?距受力点S处加速度是多大?
以下是我的一点见解
受力端加速度方向垂直于杆,另一端沿杆,中间与杆成锐角

Answer 1

这是个刚体，该运动可以被拆分为平动和转动。。。先分析转动：
以刚体的质心为参考系，并且以质心为转轴进行分析，虽然该质心系显然为非惯性系，但是由于惯性力恰好通过转轴，所以力矩为0，唯一的力矩为F造成的力矩F*L/2，该刚体对转轴的转动惯量I为M*L^2/12（这个计算我就跳掉了，再者杆对其中心的惯量也应该背出来），因此该刚体的角加速度=力矩/惯量=(6F)/(M*L)所以其转动过的角度对时间的函数=1/2*角加速的平方=6F*t^2/(M*L)如此可以描述其转动的运动。为描述方便，我就将刚才说的角度在下文记为A
而后分析质心平动的运动，此时以地面为参考系，将F分解为x方向和y方向，（其中x轴平行于杆）。那么Fx=F*sinA;Fy=F*cos A，所以ax=Fx/M=F/M*sin(6F*t^2/(M*L));ay=Fy/M=F/M*cos(6F*t^2/(M*L))。实际上，由于已经描述了平动的加速度与时间的关系，该运动已经描述清楚了，如果一定需要其质心的坐标与时间的关系，可让加速度对时间积分两次，但由于诸如sin(k*t^2)的积分无法用初等函数描述出来，因此积分号需要保留，所以貌似也没有什么意义。。。。

综合上述描述，该刚体的转动运动，应该是匀加速的转动，质心的平动运动为一复杂的变加速度曲线运动（可用刚才的加速度与时间的关系进行描述）

Answer 2

由质点系的牛顿第二定律，质心（位于杆中点）将做匀加速直线运动。加速度大小为a=F/M,方向向下。设杆的左右端点分别为A、B。则在质心系中，杆的等效受力为：B点受到大小为F/2向下的力，A点受到大小为F/2向上的力。可见杆受到力矩的作用而转动。设杆转过的角度为@，则杆受到力矩M=FLCos@，由此推断在质心系中，杆将做周期性的转动（半周期时，A转到B原来的位置，B转到A原来的位置）。杆实际运动就是这种周期性转动和从零开始，加速度大小为F/M的匀加速直线运动的合成。
距受力点S处加速度是个时间的函数，由于运动较为复杂，这里就不求了。

追问

由于F是变力,所以杆的质心应不是作直线运动吧

追答

力F作用于杆的一端,大小不变,方向恒垂直于杆且水平,
F是恒力啊

追问

杆转动力的方向也变

追答

抱歉，先想错了，以为F是恒力。。。
F方向恒垂直于杆的话，杆就绕杆的中点加速旋转。原因是假设过杆中点有一竖直不计摩擦的转轴，则杆转动后对该转轴的作用力为零。如果转轴在其他位置，则杆对轴有作用力。去掉转轴，则杆会沿杆身方向移动，而实际情况是F始终垂直于杆，不会发生沿杆身方向的移动。
杆过中心轴的转动惯量为J=（1/12）ML²，又合力矩F（L/2）,因此杆的加加速度
β=F(L/2)/J=6F/(ML)
距受力点S处加速度是a=(L/2-S)β=(3L-6S)F/(ML)

追问

转轴会受力,你可以做个试验,手抬着杆的中点,忽然压杆的另一端,你会明显感受到受到的力增大

追答

实际情况是杆的另一端并不受力，质心保持静止。友情提示：追问过多会被扣积分，可以直接在线交谈啊。

Answer 3

水平光滑地面，整个杆都沿着F的方向以加速度F/M匀加速直线运动。
距受力点S处加速度是F/M

追问

杆转动力方向也会变

Answer 4

做螺旋运动吧。。。a=F/(S/LM)