Question

已知：如图，四边形ABCD中，∠C=90°，∠ABD=∠CBD，AB=CB，P是BD上一点，PE⊥ BC，PF⊥CD，垂足分别为E

已知：如图，四边形ABCD中，∠C=90°，∠ABD=∠CBD，AB=CB，P是BD上一点，PE⊥ BC，PF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：PA=EF；（2）若BD=10，P是BD的中点，sin∠BAP= 3 5 ，求四边形PECF的面积．

Answer 1

（1）连接PC、EF． ∵AB=CB，∠ABD=∠CBD，BD=BD， ∴△ABD≌△CBD， ∴∠BAD=∠BCD=90°， ∴AD=CD，∠ADB=∠CDB． 又∵DP=DP， ∴△ADP≌△CDP． ∴AP=PC，AP=EF． （2）∵AP=PC，AP=EF，∠C=90°， ∴四边形PECF是矩形， 若BD=10，在Rt△BAD中， ∵P为BD中点， ∴AP= 1 2 BD=5， ∴PC=EF=5． ∵sin∠BAP= 3 5 ， ∴sin∠PCE= 3 5 ， ∴EP=3，FP=4， ∴EP?FP=3×4=12． 即四边形PECF的面积为12．