Question

如图，抛物线y=ax 2 +bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，OC=4，AO=2OC，且 抛物线对称轴为直线x=-3．

如图，抛物线y=ax 2 +bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，OC=4，AO=2OC，且 抛物线对称轴为直线x=-3．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）己知矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在AC、BC上，设OD=m，矩形DEFG的面积为S，当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使 FM= 2 5 DF ，求出此时点M的坐标；（3）若点Q是抛物线上一点，且横坐标为-4，点P是y轴上一点，是否存在这样的点P，使得△BPQ是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵OC=4， ∴点C的坐标为（0，4）． ∴c=4，则抛物线解析式为y=ax 2 +bx+4． ∵AO=2OC，则AO=8， ∴点A的坐标为（-8，0）． 又∵抛物线对称轴为直线x=-3， ∴点B的坐标为（2，O）． ∴ 0=64a-8b+4 0=4a+2b+4 ， 解得 a=- 1 4 b=- 3 2 ． ∴该抛物线的函数表达式为 y=- 1 4 x 2 - 3 2 x+4 ．（3分） （2）∵矩形DEFG中FG ∥ ED，设FG与y轴交于点H， ∴△CFH ∽ △CAO，△CHG ∽ △COB． ∴ FH AO = CH CO = HG OB ，即 FH 8 = m 2 ． ∴FH=4m，故FG=5m． 设直线BC的解析式为：y=kx+b 1 ，则 4= b 1 0=3k+ b 1 ， 解得 k=-2 b 1 =4 ． ∴直线BC的解析式为y=-2x+4，则点G的坐标为（m，-2m+4） ∴S=FG×GD=5m（-2m+4）=-10（m-1） 2 +10（5分） ∵0≤m≤2， ∴当m=1时，S最大．此时OD=1，OE=4，∴DE=5． 过M作MM 1 ⊥x轴于M 1 ，则△MM 1 D ∽ △FED， ∴ M M 1 FE = MD DF = D M 1 DE ∵ FM= 2 5 DF ， ∴ MD DF = 7 5 ．则 M M 1 2 = D M 1 5 = 7 5 ． ∴ M M 1 = 14 5 ，DM 1 =7，则OM 1 =6． ∴此时点M的坐标为 (-6， 14 5 ) ．（7分） （3）存在．理由如下： ∵点Q在抛物线上，且横坐标为-4， ∴y Q =6， ∴点Q坐标为（-4，6）， 设P的坐标为（0，n），在△BPQ中， 若∠BQP为直角，则PQ 2 +BQ 2 =BP 2 ， ∴4 2 +（n-6） 2 +6 2 +（2+4） 2 =2 2 +n 2 ， 解得n=10， 此时点P的坐标为（0，10）．（8分） 若∠QBP为直角，则PQ 2 =BQ 2 +BP 2 ， ∴4 2 +（6-n） 2 =6 2 +（2+4） 2 +2 2 +n 2 ， 解得n=-2， 此时点P的坐标为（0，-2）．（9分） 若∠QPB为直角，则BQ 2 =BP 2 +PQ 2 ， ∴6 2 +（2+4） 2 =4 2 +（n-6） 2 +2 2 +n 2 ， 解得 n 1 =3+ 17 ， n 2 =3- 17 此时点P的坐标为 (0，3+ 17 ) 或 (0，3- 17 ) ．（11分） 综上所述，存在这样的点P，使得以△BPQ是直角三角形，所求的点P的坐标为： （O，10）或（0，-2）或 (0，3+ 17 ) 或 (0，3- 17 ) ．