Question

如图，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC边于点D，在劣弧 上取一点E，并使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交

如图，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC边于点D，在劣弧 上取一点E，并使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H小题1:求证：AC⊥BH小题2:若∠ABC＝45°，⊙O的直径等于10，BD＝8，求CE的长

Answer 1

小题1:连接AD，………………………………………1分 ∵∠DAC＝∠DEC，∠EBC＝∠DEC， ∴∠DAC＝∠EBC，…………………………………2分 又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，………3分 ∴∠EBC＋∠BCG＝∠DAC＋∠DCA＝90°，          ∴∠BGC＝90°，∴AC⊥BH．……………………5分 小题2:∵∠BDA＝180°－∠ADC＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝8，……………………6分 又∵AC＝10，∴在Rt△ADC中由勾股定理，得： ， ∴BC＝BD＋DC＝8＋6＝14，……………………………7分 又∵∠BGC＝∠ADC＝90°，∠BCG＝∠ACD， ∴△BCG∽△ACD， ∴ ，∴ ，………8分 连接AE，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝90°， ∴Rt△AEC∽Rt△EGC，∴ ，∴ ， ∴ ．……………………………………10分

(1)利用园的直径对应的园周角为直角，再根据角的等量代换得出∠BGC＝90°，从而得出AC⊥BH； （2）先用勾股定理求出BC的长，然后利用△BCG∽△ACD求出CG的长，再利用Rt△AEC∽Rt△EGC求出CE的长。