Question

（本小题12分）设 ，函数 的定义域为 且 ， 当 时有 （1）求 ；（2）求 的值；（3）求函数 的

（本小题12分）设 ，函数 的定义域为 且 ， 当 时有 （1）求 ；（2）求 的值；（3）求函数 的单调增区间．





Answer 1

（1）f(1/2)=sinα，f(1/4)=sin²α； (2) (3) 单调增区间为 ……12分

(1)由 ,根据解题需要给x,y赋予不同的值求解即可. (3)巧借助第（1）问求得的 和 的值， 令x=1，y=1/2，得f(3/4)="2" sinα-sin²α；令x=3/4，y=1/4，得f(1/2)=3sin²α-2 sin³α；根据 ,所以sinα=3sin²α-2 sin³α从而解出sinα=1/2，求出 的值. （1）对f[(x+y)/2]="f(x)sinα+(1-" sinα)f(y)， 令x=1，y=0，得f(1/2)=sinα；……2分 令x=1/2，y=0，得f(1/4)=sin²α；……4分 (2)令x=1，y=1/2，得f(3/4)="2" sinα-sin²α； 令x=3/4，y=1/4，得f(1/2)=3sin²α-2 sin³α； 两个f(1/2)相等，得sinα=3sin²α-2 sin³α，结合a∈(0，π/2)可解得sinα=1/2. ……8分 (3) 单调增区间为 ……12分