Question

某个凸多面体有32个面，各面是三角形或五边形，每个顶点处的棱数都相等，则这个凸多面体的顶点数可以是（

某个凸多面体有32个面，各面是三角形或五边形，每个顶点处的棱数都相等，则这个凸多面体的顶点数可以是（ A ）60 （ B ）45 （ C ）30 （ D ）15

Answer 1

C

设这个凸多面体有 n 个面是三角形，则是五边形的面有32－ n 个，此时总棱数 条． 由欧拉定理可知， V ＋32－ E ＝2， ∴ V ＝50－ n ． 又设每个顶点处的棱数为 m 条(其中3≤ m ≤5且 m ∈ N *)，由于每个顶点处的棱数都相等，则总棱数 条，由欧拉定理可知， ， ∴50－ n ＝ (其中3≤ m ≤5且 m ∈ N *)．然后讨论这个不定方程的自然数解： 当 m ＝3时，可得 n ＝－10，不合题意，舍去； 当 m ＝4时，可得 n ＝20，∴ V ＝30； 当 m ＝5时，可得 n ＝30，∴ V ＝20．