Question

已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，x∈R．（1）求函数f（x）的单调递增取区间；（2）将函数y=f（x）

已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，x∈R．（1）求函数f（x）的单调递增取区间；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移π4个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的最大值及取得最大值时的x的集合．

Answer 1

（1）f(x)＝2cosx(sinx?cosx)+1＝sin2x?cos2x＝

2

sin(2x?

π

4

)，
当2kπ?

π

2

≤2x?

π

4

≤2kπ+

π

2

，(k∈Z)即kπ?

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，(k∈Z)，
因此，函数f（x）的单调递增取间为[kπ?

π

8

，kπ+

3π

4

](k∈Z)．
（2）由已知，g(x)＝

2

sin(x+

π

4

)，
∴当sin(x+

π

4

)＝1，即x+

π

4

＝2kπ+

π

2

，也即x＝2kπ+

π

4

(k∈Z)时，g(x)max＝

2

．
∴当{x|x＝2kπ+

π

4

(k∈Z)}，g（x）的最大值为

2

．