Question

如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M．（1）求证：BE=CM．（2）求证

如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M．（1）求证：BE=CM．（2）求证：AB-AC=2BE．

Answer 1

证明：（1）连接BD，DC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴弧BD=弧CD，
∴BD=CD，
∵∠BAD=∠CAD，DE⊥AB，DM⊥AC，
∵∠M=∠DEB=90°，DE=DM，
在Rt△DEB和Rt△DMC中，

BD＝DC DE＝DM

，
∴Rt△DEB≌Rt△DMC（HL），
∴BE=CM．

（2）∵DE⊥AB，DM⊥AC，
∵∠M=∠DEA=90°，
在Rt△DEA和Rt△DMA中

AD＝AD DE＝DM

∴Rt△DEA≌Rt△DMA（HL），
∴AE=AM，
∴AB-AC，
=AE+BE-AC，
=AM+BE-AC，
=AC+CM+BE-AC，
=BE+CM，
=2BE．