Question

已知函数f（x）=ax-ax?2lnx，(a∈R)（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围

已知函数f（x）=ax-ax?2lnx，(a∈R)（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（I）f′(x)＝a+

a

x2

?

2

x

=

ax2?2x+a

x2

（x＞0）．
①当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
②当a＞0时，令g（x）=ax²-2x+a，
∵函数f（x）在区间[1，+∞）上是单调函数，
∴g（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
∴a≥

2x

x2+1

，在区间[1，+∞）上恒成立．
令u（x）=

2x

x2+1

，x∈[1，+∞）．
∵u（x）=

2

x+ 1 x

≤

2

2 x? 1 x

=1，当且仅当x=1时取等号．
∴a≥1．
∴当a≥1时，函数f（x）单调递增．
∴实数a的取值范围是（-∞，0）∪[1，+∞）；
（2）由（1）可知：①当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
②当a≥1时，此时函数f（x）在（0，+∞）单调递增．
③当0＜a＜1时，由ax²-2x+a=0，解得x1＝

1? 1?a2

a

，x2＝

1+ 1?a2

a

．
∴函数f（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减．