如图，△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的半圆O与直角边BC相切于点F，分别交AC、AB
如图，△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的半圆O与直角边BC相切于点F，分别交AC、AB于点D、E．（1）求证：OF平分∠DOE；（2）若C...
如图，△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的半圆O与直角边BC相切于点F，分别交AC、AB于点D、E．（1）求证：OF平分∠DOE；（2）若CD=1，CF=3，求图中阴影部分面积的和．
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（1）证明：如图，∵BC边与圆O相切于点F，∴BC⊥OF．
又∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴AC∥OF，
∴∠2=∠3，∠1=∠4．
∵OA=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，即OF平分∠DOE；
（2）解：如图，过O作AC的垂线，设垂足为G，
∵AC⊥BC，BC⊥OF，
∴四边形OGCF是矩形，
∵CF是切线，CDA是割线，
∴CF2=CD?CA，
∵CD=1，CF=
| 3 |
∴AC=3，
∴AD=2，
∴AG=1，
∴OF=CG=2，
连接DF．易求∠CFD=∠B=30°，∠3=∠4=60°，
∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形DFE=
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| 120π×OF2 |
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