Question

如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD ∥ BC，AB⊥BC，∠DCB=75°，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB

如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD ∥ BC，AB⊥BC，∠DCB=75°，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．（1）求∠AED的度数；（2）求证：AB=BC；（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30°，求 DF FC 的值．

Answer 1

（1）∵∠BCD=75°，AD ∥ BC， ∴∠ADC=105°． 由等边△DCE可知∠CDE=60°， 故∠ADE=45°． 由AB⊥BC，AD ∥ BC，可得∠DAB=90°， ∴∠AED=45°． （2）证明：由（1）知∠AED=45°， ∴AD=AE，故点A在线段DE的垂直平分线上． 由△DCE是等边三角形得CD=CE，故点C也在线段DE的垂直平分线上． ∴AC就是线段DE的垂直平分线，即AC⊥DE． 连接AC，∵∠AED=45°， ∴∠BAC=45°， 又∵AB⊥BC， ∴∠ACB=45°， ∴BA=BC． （3）∵∠FBC=30°，∴∠ABF=60°． 连接AF，BF、AD的延长线相交于点G， ∵∠FBC=30°，∠DCB=75°， ∴∠BFC=75°，故BC=BF． 由（2）知：BA=BC，故BA=BF， ∵∠ABF=60°， ∴AB=BF=FA， 又∵AD ∥ BC，AB⊥BC， ∴∠FAG=∠G=30°． ∴FG=FA=FB． ∵∠G=∠FBC=30°，∠DFG=∠CFB，FB=FG， ∴△BCF≌△GDF． ∴DF=CF，即点F是线段CD的中点． ∴ DF FC =1．