Question

已知椭圆C： （ ）的左焦点为 ，离心率为 .（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，T为直线

已知椭圆C： （ ）的左焦点为 ，离心率为 .（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，T为直线 上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.

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Answer 1

(1) ；（2）

试题分析：（1）由已知得： ， ，所以 ，再由 可得 ，从而得椭圆的标准方程. ）椭圆方程化为 .设PQ的方程为 ，代入椭圆方程得： .面积 ，而 ，所以只要求出 的值即可得面积.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以 ，即 . 再结合韦达定理即可得 的值. 试题解析：（1）由已知得： ， ，所以 又由 ，解得 ，所以椭圆的标准方程为： . （2）椭圆方程化为 . 设T点的坐标为 ，则直线TF的斜率 . 当 时，直线PQ的斜率 ，直线PQ的方程是 当 时，直线PQ的方程是 ，也符合 的形式. 将 代入椭圆方程得： . 其判别式 . 设 ， 则 . 因为四边形OPTQ是平行四边形，所以 ，即 . 所以 ，解得 . 此时四边形OPTQ的面积 . 【考点定位】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积.