Question

本题12分）已知函数 . (1)求 的定义域；(2

本题12分）已知函数 . (1)求 的定义域；(2)在函数 的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴； (3)当 ，b满足什么条件时， 在 上恒取正值.

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Answer 1

(1) (0，＋∞).(2)函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴. (3)当a≥b＋1时， f(x)在(1，＋∞)上恒取正值.

试题分析：（1）由对数函数的真数大于零求解． （2）当函数在定义域上单调时，则不存在，当函数在定义域上不单调时，则存在，所以要证明函数是否单调，可用定义法，也可用导数法研究． （3）由“f（x）在（1，+∞）上恒取正值”则需函数的最小值非负即可，由（2）可知是增函数，所以只要f（1）≥0即可． 解　：(1)由a x －b x >0， 得( ) x >1，且a>1>b>0，得 >1， 所以x>0，即f(x)的定义域为(0，＋∞). (2)任取x 1 >x 2 >0，a>1>b>0，则ax 1 >ax 2 >0，bx 1 <bx 2 ，所以ax 1 －bx 1 >ax 2 －bx 2 >0， 即lg(a x1 －b x1 )>lg(a x2 －b x2 ).  故f(x 1 )>f(x 2 ). 所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数. 假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x 1 ，y 1 )、B(x 2 ，y 2 )，使直线平行于x轴，        则x 1 ≠x 2 ，y 1 ＝y 2 ，这与f(x)是增函数矛盾. 故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴. (3)因为f(x)是增函数， 所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1).  这样只需f(1)＝lg(a－b)≥0， 即当a≥b＋1时，   f(x)在(1，＋∞)上恒取正值. 点评：解决该试题的关键是利用导数的几何意义来表示切线的斜率，同时能利用对数的真数大于零得到定义域进而研究其性质。