Question

如图1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（

如图1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．（1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N．证明DM=DN；（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？答：是是（请写出结论，不用证明．）

Answer 1

证明：（1）连接BD（1分）
∵AB=BC，∠ABC=90°，点D为AC的中点
∴BD⊥AC，∠A=∠C=45°
∴BD=AD=CD
∴∠ABD=∠A=45°
∴∠MBD=∠C=45°（2分）
∵∠MDB+∠BDN=90°
∠NDC+∠BDN=90°
∴∠MDB=∠NDC（3分）
在△MDB和△NDC中

∠MBD＝∠C BD＝CD ∠MDB＝∠NDC

∴△MDB≌△NDC（ASA）（4分）
∴DM=DN（5分）
（2）DM=DN仍然成立．理由如下：连接BD，
由（1）知BD⊥AC，BD=CD
∴∠ABD=∠ACB=45°
∵∠ABD+∠MBD=180°∠ACB+∠NCD=180°
∴∠MBD=∠NCD
∵BD⊥AC
∴∠MDB+∠MDC=90°（6分）
又∠NDC+∠MDC=90°
∴∠MDB=∠NDC（9分）
在△MDB和△NDC中

∠MBD＝∠NCD BD＝CD ∠MDB＝∠NDC

∴△MDB≌△NDC（ASA）    （11分）
∴DM=DN（12分）
（3）是 （13分）