Question

已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为x＝2cosφy＝2+

已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为x＝2cosφy＝2+2sinφ（φ为参数）．点A，B是曲线C上两点，点A，B的极坐标分别为（ρ1，π3），（ρ2，5π6）．（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）求|AB|的值．

Answer 1

（2014•宁城县模拟）已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为
x＝2cosφ
y＝2+2sinφ
（φ为参数）．点A，B是曲线C上两点，点A，B的极坐标分别为
（ρ1，π/3），（ρ2，5π/6）．
（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和极坐标方程；
（Ⅱ）求|AB|的值．
（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为
x＝2cosφ
y＝2+2sinφ
，（φ为参数），
消去参数φ，化为普通方程是x2+（y-2）2=4；
由x＝ρcosθy＝ρsinθ，（θ为参数），
∴曲线C的普通方程x2+（y-2）2=4可化为
极坐标ρ=4sinθ，（θ为参数）；
（Ⅱ）方法1：由A(ρ1，π/3)，B(ρ2，5π/6)是圆C上的两点，
且知∠AOB＝π/2，
∴AB为直径，
∴|AB|=4；
方法2：由两点A（ρ1，π/3），B（ρ2，5π/6），
化为直角坐标中点的坐标是A（根号下3，3），B（-根号下3，1），
∴A、B两点间距离为|AB|=4．
本题考点：
参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
问题解析：
（Ⅰ）消去参数φ，把曲线C的参数方程化为普通方程；
由公式
x＝ρcosθ
y＝ρsinθ
，把曲线C的普通方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）方法1：由A、B两点的极坐标，得出∠AOB＝π/2
，判定AB为直径，求出|AB|；
方法2：把A、B化为直角坐标的点的坐标，求出A、B两点间距离|AB|．

Answer 2

（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为

x＝2cosφ y＝2+2sinφ

，（φ为参数），
消去参数φ，化为普通方程是x²+（y-2）²=4；
由

x＝ρcosθ y＝ρsinθ

，（θ为参数），
∴曲线C的普通方程x²+（y-2）²=4可化为
极坐标ρ=4sinθ，（θ为参数）；
（Ⅱ）方法1：由A(ρ1，

π

3

)，B(ρ2，

5π

6

)是圆C上的两点，
且知∠AOB＝

π

2

，
∴AB为直径，
∴|AB|=4；
方法2：由两点A（ρ₁，

π

3

），B（ρ₂，

5π

6

），
化为直角坐标中点的坐标是A（

3

，3），B（-

3

，1），
∴A、B两点间距离为|AB|=4．