Question

高二数学:已知数列{an}中a1=2,a(n+1)=(根号2-1）*（an+2),n∈1，2，3，...

已知数列{an}中a1=2,a(n+1)=(根号2-1）*（an+2),n∈1，2，3，...
（1）若数列{bn}中b1=2,b(n+1)=(3bn+4)/(2bn+3),n∈1，2，3，....，证明：根号2<bn<=a(4n-3),n=1，2，3，...
请详细些一下过程
谢谢

Answer 1

由题：
设a(n+1)+x=(根号2-1）*（an+x）
结合a1=2,a(n+1)= (根号2-1）*（an+2),n∈1，2，3，...
解得：x= -根号2
所以{an-根号2}是等比数列.
an=根号2 * (根号2-1)^n+根号2
令t=(根号2-1)^(4n-1)
a4n-3=根号2*t/(根号2-1)^2+根号2
a4n-3=根号2*t*(根号2-1)^2+根号2
用数学归纳法：
1.k=1时，显然成立
2.k=n,n>=2,设2<bn<=a(4n-3),则对于k=n+1
bn+1=(3bn+4)/(2bn+3)=3/2-1/(6*bn+9);
f(x)=3/2-1/(6*x+9)是增函数，所以：
bn+1=f(bn)<= f(a(4n-3))
f( a(4n-3) )- a(4n+1) = [3*a(4n-3)+4 - 2*a(4n+1)*a(4n-3) - 3*a(4n-3)]/2*a(4n-3)+3
= -t^2/2*a(4n-3)+3<0
即f( a(4n-3) )<= a(4n+1)
所以对于k=n+1时不等式也成立。
综上所述，不等式成立。
证毕。

Answer 2

好难