Question

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a2=b2+c2﹣bc．问：若a=2，求bsinB+csinC的最大值．

Answer 1

用基本不等式得
a^2＝b^2+c^2-bc
→4＝b^2+c^2-bc
≥(b^2+c^2)-(b^2+c^2)/2
→b^2+c^2≤8.
再用正弦定理(R为外接圆半径)得
∴bsinB+csinC
＝b·(b/2R)+c·(c/2R)
＝(1/2R)(b^2+c^2)
≤4/R
另外，条件式对比余弦定理知，
a^2＝b^2+c^2-2bc·(1/2)
＝b^2+c^2-2bc·cos60°
→A＝60°.
∴2R＝a/sinA＝2/(√3/2)→R＝2/√3.
∴bsinB+csinC≤4/(2/√3)＝2√3.
故所求最大值为：2√3。