Question

已知函数f（x）=|x+a|．（Ⅰ）当a=-1时，求不等式f（x）≥|x+1|+1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（-x）

已知函数f（x）=|x+a|．（Ⅰ）当a=-1时，求不等式f（x）≥|x+1|+1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（-x）＜2存在实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ） 当a=-1时，不等式f（x）≥|x+1|+1可化为|x-1|-|x+1|≥1， 化简可得 x≤-1 2≥1 ，或 -1＜x≤1 -2x≥1 ，或 x＞1 -2≥1 ． 解得x≤-1，或-1＜x≤- 1 2 ，即所求解集为{x|x≤- 1 2 }．  …（5分） （Ⅱ）令g（x）=f（x）+f（-x），则g（x）=|x+a|+|x-a|≥2|a|，∴g（x）的最小值为2|a|． 依题意可得2＞2|a|，即-1＜a＜1． 故实数a的取值范围是（-1，1）．    …（10分）