Question

已知抛物线y=2x 2 -2（m-1）x-m．（1）求证：无论m为任何实数，此抛物线与x轴总有两个交点；（2）设抛物

已知抛物线y=2x 2 -2（m-1）x-m．（1）求证：无论m为任何实数，此抛物线与x轴总有两个交点；（2）设抛物线与x轴交于点A（x 1 ，0）、点B（x 2 ，0），且x 1 ＜0＜x 2 ．①当OA+OB=2时，求此抛物线的解析式；②若抛物线与y轴交于点C，是否存在这样的抛物线，使△ABC为直角三角形；若存在，求出抛物线的解析式；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵和抛物线y=2x 2 -2（m-1）x-m对应的一元二次方程为2x 2 -2（m-1）x-m=0， ∵△=4（m-1） 2 +8m（1分）=4m 2 +4， ∵m 2 ≥0， ∴4m 2 +4＞0， ∴△＞0， ∴方程2x 2 -2（m-1）x-m=0必有两个不相等的实数根， ∴无论m为任何实数，此抛物线与x轴总有两个交点．（1分） （2）由题意可知x 1 ，x 2 是方程x 2 -4x+3（m-1）=0的两个实数根， ∴x 1 +x 2 =m-1，x 1 ?x 2 =- m 2 ，（1分） ①∵x 1 ＜0＜x 2 ， ∴OA=-x 1 ，OB=x 2 ， ∴OA+OB=-x 1 +x 2 ， ∴-x 1 +x 2 =2， ∴（x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 =4，（1分） ∴（m-1） 2 -4×（- m 2 ）=4， 解得：m=± 3 ，（1分） ∵x 1 ?x 2 ＜0， ∴m＞0， ∴m= 3 ， ∴所求抛物线的解析式为y=2x 2 -2（ 3 -1）x- 3 ，（1分） ②设存在这样的抛物线，使△ABC为直角三角形， ∵点A、B分别在原点的两侧，点C（0，-m）， ∴只可能有∠ACB=90°，（1分） 又∵点A（x 1 ，0）、点B（x 2 ，0），且AC 2 +BC 2 =AB 2 ， ∴x 1 2 +m 2 +x 2 2 +m 2 =（x 2 -x 1 ） 2 ， ∴m 2 = m 2 ， 解得m=0或m= 1 2 （1分） 但m=0不合题意，舍去， ∴m= 1 2 ， ∴y=2x 2 +x- 1 2 ， ∴存在抛物线y=2x 2 +x- 1 2 ，使△ABC为直角三角形（1分）