Question

如图，已知AB为⊙O的直径，C为圆上一点，且AC=3，BC=4．CD平分∠ACB，则CD的长为______

如图，已知AB为⊙O的直径，C为圆上一点，且AC=3，BC=4．CD平分∠ACB，则CD的长为______．

Answer 1

作CH⊥AB于H，连结OD、AD、BD，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，∠ADB=90°， ∴AB= A C 2 +B C 2 =5， ∵CD平分∠ACB， ∴弧AD=弧BD， ∴AD=BD， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴OD= 1 2 AB= 5 2 ， ∵ 1 2 AC?BC= 1 2 CH?AB， ∴CH= 12 5 ， 在Rt△ACH中，AH= A C 2 -C H 2 = 9 5 ， ∴OH=OA-AH= 7 10 ， ∵CH ∥ OD， ∴△ECH ∽ △EDO， ∴EH：EO=CH：OD=24：25， ∴EH= 24 49 × 7 10 = 12 35 ，OE= 5 14 ， 在Rt△EHC中，CE= C H 2 +H E 2 = 12 2 7 ， 在Rt△OEH中，DE= O E 2 +O D 2 = 16 2 7 ， ∴CD=CE+DE=4 2 ． 故答案为4 2 ．