设定义在f（x）（-∞，∞）上的函数f（x），对于任意x，y∈（-∞，∞），满足f（x+y）=f（x）ey+f（y）ex
设定义在f（x）（-∞，∞）上的函数f（x），对于任意x，y∈（-∞，∞），满足f（x+y）=f（x）ey+f（y）ex，且f′（0）=a（a≠0）．（1）证明：对于任意...
设定义在f（x）（-∞，∞）上的函数f（x），对于任意x，y∈（-∞，∞），满足f（x+y）=f（x）ey+f（y）ex，且f′（0）=a（a≠0）．（1）证明：对于任意的x∈（-∞，∞），f′（x）存在，并求出函数f（x）．（2）将f（x）展开成（x-1）的幂级数，并求f（2009）（1）．
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因为f（x+y）=f（x）ey+f（y）ex，
令x=y=0可得，f（0）=0．
又因为f（x+△x）=f（x）e△x +f（△x）ex，
所以
=
(f(x)
+ex
)
=f（x）
+ex
=f（x）+f′（0）ex
=f（x）+aex，
从而f′（x）存在，且f′（x）=f（x）+aex．
由于f′（x）-f（x）=aex，
故利用一阶线性微分方程的求解公式可得，
f（x）=e∫1dx（∫aexe∫-1dx+C）=ex（ax+C）．
又因为f（0）=0，所以C=0，
故 f（x）=axex．
（2）因为f（x）=axex =aexex-1=ae（x-1）ex-1+aeex-1，
又因为ex＝
，x∈R，
所以 f（x）=ae（x-1）ex-1+aeex-1
=ae(x?1)
+ae
=ae
+ae
，x∈R．
由幂级数展开式的唯一性可得，
＝
+
，
从而，f（2009）（1）=2009ae+ae=2010ae．
令x=y=0可得，f（0）=0．
又因为f（x+△x）=f（x）e△x +f（△x）ex，
所以
| lim |
| △x→0 |
| f(x+△x)?f(x) |
| △x |
=
| lim |
| △x→0 |
| e△x?1 |
| △x |
| f(△x) |
| △x |
=f（x）
| lim |
| △x→0 |
| e△x?1 |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| f(△x)?f(0) |
| △x |
=f（x）+f′（0）ex
=f（x）+aex，
从而f′（x）存在，且f′（x）=f（x）+aex．
由于f′（x）-f（x）=aex，
故利用一阶线性微分方程的求解公式可得，
f（x）=e∫1dx（∫aexe∫-1dx+C）=ex（ax+C）．
又因为f（0）=0，所以C=0，
故 f（x）=axex．
（2）因为f（x）=axex =aexex-1=ae（x-1）ex-1+aeex-1，
又因为ex＝
| ∞ |
 |
| n＝0 |
| xn |
| n! |
所以 f（x）=ae（x-1）ex-1+aeex-1
=ae(x?1)
| ∞ |
|
| n＝0 |
| (x?1)n |
| n! |
| ∞ |
|
| n＝0 |
| (x?1)n |
| n! |
=ae
| ∞ |
|
| n＝1 |
| (x?1)n |
| (n?1)! |
| ∞ |
|
| n＝0 |
| (x?1)n |
| n! |
由幂级数展开式的唯一性可得，
| f(2009)(1) |
| 2009! |
| ae |
| 2008! |
| ae |
| 2009! |
从而，f（2009）（1）=2009ae+ae=2010ae．
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