Question

设定义在f（x）（-∞，∞）上的函数f（x），对于任意x，y∈（-∞，∞），满足f（x+y）=f（x）ey+f（y）ex

设定义在f（x）（-∞，∞）上的函数f（x），对于任意x，y∈（-∞，∞），满足f（x+y）=f（x）ey+f（y）ex，且f′（0）=a（a≠0）．（1）证明：对于任意的x∈（-∞，∞），f′（x）存在，并求出函数f（x）．（2）将f（x）展开成（x-1）的幂级数，并求f（2009）（1）．

Answer 1

因为f（x+y）=f（x）e^y+f（y）e^x，
令x=y=0可得，f（0）=0．
又因为f（x+△x）=f（x）e^△x +f（△x）e^x，
所以

lim

△x→0

f(x+△x)?f(x)

△x

 
=

lim

△x→0

(f(x)

e△x?1

△x

+ex

f(△x)

△x

) 
=f（x）

lim

△x→0

e△x?1

△x

+ex

lim

△x→0

f(△x)?f(0)

△x

=f（x）+f′（0）e^x
=f（x）+ae^x，
从而f′（x）存在，且f′（x）=f（x）+ae^x．
由于f′（x）-f（x）=ae^x，
故利用一阶线性微分方程的求解公式可得，
f（x）=e^∫1dx（∫ae^xe^∫-1dx+C）=e^x（ax+C）．
又因为f（0）=0，所以C=0，
故 f（x）=axe^x．
（2）因为f（x）=axe^x =aexe^x-1=ae（x-1）e^x-1+aee^x-1，
又因为ex＝

∞

n＝0

xn

n!

，x∈R，
所以 f（x）=ae（x-1）e^x-1+aee^x-1
=ae(x?1)

∞

n＝0

(x?1)n

n!

+ae

∞

n＝0

(x?1)n

n!

=ae

∞

n＝1

(x?1)n

(n?1)!

+ae

∞

n＝0

(x?1)n

n!

，x∈R．
由幂级数展开式的唯一性可得，

f(2009)(1)

2009!

＝

ae

2008!

+

ae

2009!

，
从而，f^（2009）（1）=2009ae+ae=2010ae．