Question

定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的单调增区间为（-1，1），若方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0

定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的单调增区间为（-1，1），若方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

∵函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）的单调增区间为（-1，1），
∴f'（x）＞0的解集为（-1，1），
即f'（x）=3ax²+2bx+c＞0的解集为（-1，1），
∴a＜0，且x=-1和x=1是方程f'（x）=3ax²+2bx+c=0的两个根，
即-1+1=?

2b

3a

＝0，?1×1＝

c

3a

＝?1，
解得b=0，c=-3a．
∴f（x）=ax³+bx²+cx=ax³-3ax=ax（x²-3），
则方程3a（f（x））²+2bf（x）+c=0等价为3a（f（x））²-3a=0，
即（f（x））²=1，即f（x）=±1．
要使方程3a（f（x））²+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，即f（x）=±1．各有3个不同的根，
∵f（x）=ax³+bx²+cx=ax³-3ax=ax（x²-3），
∴f'（x）=3ax²-3a=3a（x²-1），
∵a＜0，
∴当f'（x）＞0得-1＜x＜1，此时函数单调递增，
当f'（x）＜0得x＜-1或x＞1，此时函数单调递减，
∴当x=1时，函数取得极大值f（1）=-2a，
当x=-1时，函数取得极小值f（-1）=2a，
∴要使使方程3a（f（x））²+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，即f（x）=±1各有3个不同的根，
此时满足f_极小（-1）＜1＜f_极大（1），
即2a＜1＜-2a，
即

a＜ 1 2 a＜? 1 2

，即a＜?

1

2

，
故答案为：a＜?

1

2

．