Question

已知函f（x）=ax2-ex（a∈R）．（Ⅰ）a=1时，试判断f（x）的单调性并给予证明；（Ⅱ）若f（x）有两个极值

已知函f（x）=ax2-ex（a∈R）．（Ⅰ）a=1时，试判断f（x）的单调性并给予证明；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（i） 求实数a的取值范围；（ii）证明：-e2＜f(x1)＜?1． （注：e是自然对数的底数）

Answer 1

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x²-e^x，f（x）在R上单调递减．
事实上，要证f^′（x）=x²-e^x在R上为减函数，只要证明f^′（x）≤0对?x∈R恒成立即可，
设g（x）=f^′（x）=2x-e^x，则g^′（x）=2-e^x，
当x=ln2时，g^′（x）=0，
当x∈（-∞，ln2）时，g^′（x）＞0，当x∈（ln2，+∞）时，g^′（x）＜0．
∴函数g（x）在（-∞，ln2）上为增函数，在（ln2，+∞）上为减函数．
∴f^′（x）_max=g（x）_max=g（ln2）=2ln2-2＜0，故f^′（x）＜0恒成立
所以f（x）在R上单调递减；                                    
（Ⅱ）（i）由f（x）=ax²-e^x，所以，f^′（x）=2ax-e^x．
若f（x）有两个极值点x₁，x₂，则x₁，x₂是方程f^′（x）=0的两个根，
故方程2ax-e^x=0有两个根x₁，x₂，
又因为x=0显然不是该方程的根，所以方程2a＝

ex

x

有两个根，
设h(x)＝

ex

x

，得h′(x)＝

ex(x?1)

x2

．
若x＜0时，h（x）＜0且h^′（x）＜0，h（x）单调递减．
若x＞0时，h（x）＞0．
当0＜x＜1时h^′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x＞1时h^′（x）＞0，h（x）单调递增．
要使方程2a＝

ex

x

有两个根，需2a＞h（1）=e，故a＞

e

2

且0＜x₁＜1＜x₂．
故a的取值范围为(

e

2

，+∞)．
（ii）证明：由f^′（x₁）=0，得：2ax1?ex1＝0，故a＝

ex1

2x1

，x₁∈（0，1）
f(x1)＝ax12?ex1＝

ex1

2x1

?x12?ex1=ex1(

x1

2

?1)，x₁∈（0，1）
设s（t）=et(

t

2

?1)（0＜t＜1），则s′(t)＝et(

t?1

2

)＜0，s（t）在（0，1）上单调递减
故s（1）＜s（t）＜s（0），即

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