已知函数f(x)=ex-ax-1(a>0,e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的最小值;(2)若f(x)≥0对任
已知函数f(x)=ex-ax-1(a>0,e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的最小值;(2)若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,求实数a的值;(3)在(2)的条件...
已知函数f(x)=ex-ax-1(a>0,e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的最小值;(2)若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,求实数a的值;(3)在(2)的条件下,证明:(1n)n+(2n)n+…+(n?1n)n+(nn)n<ee?1(其中n∈N*).
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解答:(1)解:由题意a>0,f′(x)=ex-a,
由f′(x)=ex-a=0得x=lna.
当x∈(-∞,lna)时,f′(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0.
∴f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增.
即f(x)在x=lna处取得极小值,且为最小值,其最小值为f(lna)=elna-alna-1=a-alna-1.(5分)
(2)解:f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,即在x∈R上,f(x)min≥0.
由(1),设g(a)=a-alna-1,所以g(a)≥0.
由g′(a)=1-lna-1=-lna=0得a=1.
∴g(a)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,
∴g(a)在a=1处取得最大值,而g(1)=0.
因此g(a)≥0的解为a=1,∴a=1.(9分)
(3)证明:由(2)知,对任意实数x均有ex-x-1≥0,即1+x≤ex.
令x=?
(n∈N*,k=0,1,2,3,…,n-1),则0<1?
≤e?
.
∴(1?
)n≤(e?
)n=e?k.
∴(
)n+(
)n+…+(
)n+(
)n≤e?(n?1)+e?(n?2)+…+e?2+e?1+1
=
<
=
.(14分)
由f′(x)=ex-a=0得x=lna.
当x∈(-∞,lna)时,f′(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0.
∴f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增.
即f(x)在x=lna处取得极小值,且为最小值,其最小值为f(lna)=elna-alna-1=a-alna-1.(5分)
(2)解:f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,即在x∈R上,f(x)min≥0.
由(1),设g(a)=a-alna-1,所以g(a)≥0.
由g′(a)=1-lna-1=-lna=0得a=1.
∴g(a)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,
∴g(a)在a=1处取得最大值,而g(1)=0.
因此g(a)≥0的解为a=1,∴a=1.(9分)
(3)证明:由(2)知,对任意实数x均有ex-x-1≥0,即1+x≤ex.
令x=?
k |
n |
k |
n |
k |
n |
∴(1?
k |
n |
k |
n |
∴(
1 |
n |
2 |
n |
n?1 |
n |
n |
n |
=
1?e?n |
1?e?1 |
1 |
1?e?1 |
e |
e?1 |
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