已知抛物线y2=6x上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2=4．线段AB的垂直平分线与x轴
已知抛物线y2=6x上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2=4．线段AB的垂直平分线与x轴交于点C．（1）试证直线AB的垂直平分线经过...
已知抛物线y2=6x上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2=4．线段AB的垂直平分线与x轴交于点C．（1）试证直线AB的垂直平分线经过定点．（2）设AB中点为M（x0，y0），求△ABC面积的表达式，要求用y0表示．（3）求△ABC面积的最大值．
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（1）
设线段AB的中点为M（x0，y0），
则 x0＝
＝2，y0＝
，kAB＝
＝
＝
＝
．
线段AB的垂直平分线的方程是y?y0＝?
(x?2)，①
由题意知x=5，y=0是①的一个解，
所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，
且点C坐标为（5，0）．
所以直线AB的垂直平分线经过定点C（5，0）．…（4分）
（2）由①知直线AB的方程为y?y0＝
(x?2)，
即 x＝
(y?y0)+2，②
②代入y2=6x得y2=2y0（y-y0）+12，即y2?2y0y+2
?12＝0，③
依题意，y1，y2是方程③的两个实根，且y1≠y2，
所以△＝4
?4(2
?12)＝?4
+48＞0，?2
＜y0＜2
．
|AB|＝
=
=
=
=
．
定点C（5，0）到线段AB的距离h＝|CM|＝
＝
．
∴S△ABC＝
|AB|?h＝
设线段AB的中点为M（x0，y0），则 x0＝
| x1+x2 |
| 2 |
| y1+y2 |
| 2 |
| y2?y1 |
| x2?x1 |
| y2?y1 | ||||||||
|
| 6 |
| y2+y1 |
| 3 |
| y0 |
线段AB的垂直平分线的方程是y?y0＝?
| y0 |
| 3 |
由题意知x=5，y=0是①的一个解，
所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，
且点C坐标为（5，0）．
所以直线AB的垂直平分线经过定点C（5，0）．…（4分）
（2）由①知直线AB的方程为y?y0＝
| 3 |
| y0 |
即 x＝
| y0 |
| 3 |
②代入y2=6x得y2=2y0（y-y0）+12，即y2?2y0y+2
| y | 2 0 |
依题意，y1，y2是方程③的两个实根，且y1≠y2，
所以△＝4
| y | 2 0 |
| y | 2 0 |
| y | 2 0 |
| 3 |
| 3 |
|AB|＝
| (x1?x2)2+(y1?y2)2 |
=
(1+(
|
=
(1+
|
=
(1+
|
=
| 2 |
| 3 |
(9+
|
定点C（5，0）到线段AB的距离h＝|CM|＝
| (5?2)2+(0?y0)2 |
9+
|
∴S△ABC＝
| 1 |
| 2 |
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