(1)如图1,已知点P在正三角形ABC的边BC上,以AP为边作正三角形APQ,连接CQ.①求证:△ABP≌△ACQ;②
(1)如图1,已知点P在正三角形ABC的边BC上,以AP为边作正三角形APQ,连接CQ.①求证:△ABP≌△ACQ;②若AB=6,点D是AQ的中点,直接写出当点P由点B运...
(1)如图1,已知点P在正三角形ABC的边BC上,以AP为边作正三角形APQ,连接CQ.①求证:△ABP≌△ACQ;②若AB=6,点D是AQ的中点,直接写出当点P由点B运动到点C时,点D运动路线的长.(2)已知,△EFG中,EF=EG=13,FG=10.如图2,把△EFG绕点E旋转到△EF'G'的位置,点M是边EF'与边FG的交点,点N在边EG'上且EN=EM,连接GN.求点E到直线GN的距离.
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解答:解:(1)①∵三角形ABC和三角形APQ是正三角形,
∴AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠PAQ,
∴∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC,
∴∠BAP=∠CAQ,
∴△ABP≌△ACQ
②如图:当点P由点B运动到点C时,点D运动路线为DD′,
∵AD=CD,AD′=D′Q′,
∴DD′=
CQ′=
AB=3;
∴点D运动路线的长为3.
(2)解法一:
过点E作底边FG的垂线,点H为垂足.
在△EFG中,易得EH=12.
类似(1)可证明△EFM≌△EGN,
∴∠EFM=∠EGN,
∵∠EFG=∠EGF,
∴∠EGF=∠EGN,
∴GE是∠FGN的角平分线,
∴点E到直线FG和GN的距离相等,
∴点E到直线GN的距离是12.
解法二:
过点E作底边FG的垂线,点H为垂足.过点E作直线
GN的垂线,点K为垂足,
在△EFG中,EH=
=12
同(1)可证明△EFM≌△EGN,
∴∠EFM=∠EGN,可证明△EFH≌△EGK,
∴EH=EK.
∴点E到直线GN的距离是12,
解法三:
把△EFG绕点E旋转,对应着点M在边FG上从点F开始运动.
由题意,在运动过程中,点E到直线GN的距离不变.
不失一般性,设∠EMF=90°.
类似(1)可证明△EFM≌△EGN,
∴∠ENG=∠EMF=90°,
求得EM=12,
∴点E到直线GN的距离是12.
∴AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠PAQ,
∴∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC,
∴∠BAP=∠CAQ,
∴△ABP≌△ACQ
②如图:当点P由点B运动到点C时,点D运动路线为DD′,
∵AD=CD,AD′=D′Q′,
∴DD′=
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∴点D运动路线的长为3.
(2)解法一:
过点E作底边FG的垂线,点H为垂足.
在△EFG中,易得EH=12.
类似(1)可证明△EFM≌△EGN,
∴∠EFM=∠EGN,
∵∠EFG=∠EGF,
∴∠EGF=∠EGN,
∴GE是∠FGN的角平分线,
∴点E到直线FG和GN的距离相等,
∴点E到直线GN的距离是12.
解法二:
过点E作底边FG的垂线,点H为垂足.过点E作直线
GN的垂线,点K为垂足,
在△EFG中,EH=
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同(1)可证明△EFM≌△EGN,
∴∠EFM=∠EGN,可证明△EFH≌△EGK,
∴EH=EK.
∴点E到直线GN的距离是12,
解法三:
把△EFG绕点E旋转,对应着点M在边FG上从点F开始运动.
由题意,在运动过程中,点E到直线GN的距离不变.
不失一般性,设∠EMF=90°.
类似(1)可证明△EFM≌△EGN,
∴∠ENG=∠EMF=90°,
求得EM=12,
∴点E到直线GN的距离是12.
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