Question

已知a+1/b=b+1/c=c+1/d=d+1/a=x,且a,b,c,d互不相等，求出x的值。

Answer 1

b=1/(x-a) ， 代入 b+1/c =x 得： c=(x-a)/(x^2-ax-1) 代入c+1/d=x 得 (x-a)/(x^2-ax-1) +1/d =x 整理得 dx^3-(ad+1)x^2+(a-2d)x+(ad+1)=0 由d+ 1/a=x，所以 ad+1=ax 所以 (d-a)x^3+(a-2d)x+ax=0 所以(d-a)x^3+2(a-d)x=0 因为a≠d 所以 x^3-2x=0 所以x = 0 或√2 或 -√2 当x=0时，ab=bc=cd=ad=-1 则有 a=c，b=d，与题意不符 综上所述， x = ±√2

Answer 2

是±√2
这个题我做过的
过程：
先把b,c,d用a和x表示出来。
b=1/(x-a)
c=(x-a)/(x^2-ax-1)
d=(x^2-ax-1)/(x^3-ax^2-2x+a)
又d+1/a=x，所以
ax^4-(a^2+1)x^3-2ax^2+2(a^2+1)x=0 (好累...)
两边除以a,设t=a+1/a，得
x^4-tx^3-2x^2+2tx=0
分解因式，得
x(x-t)(x+根号2)(x-根号2)=0。
若x=0，则a=-1/b,b=-1/c，得a=c，与题意不符。
若x=t，则a+1/b=a+1/a，得b=a，与题意不符。
若x=根号2，能找到一组：a=1,b=1/(根号2-1),c=-1,d=1/(根号2+1)
若x=-根号2，能找到一组：a=-1,b=-1/(根号2-1),c=1,d=-1/(根号2+1)。
所以x的值是根号2或-根号2。