Question

什么是全微分方程？

Answer 1

简介
全微分方程是常微分方程的一种，它在物理学和工程学中广泛使用。

编辑本段定义
给定R2的一个单连通的开子集D和两个在D内连续的函数I和J，那么以下形式的一阶常微分方程：

称为全微分方程，如果存在一个连续可微的函数F，称为势函数，使得：

“全微分方程”的命名指的是函数的全导数。对于函数F(x0,x1,...,xn − 1,xn)，全导数为：

编辑本段势函数
在物理学的应用中，I和J通常不仅是连续的，也是连续可微的。施瓦茨定理（也称为克莱罗定理）提供了势函数存在的一个必要条件。对于定义在单连通集合上的微分方程，这个条件也是充分的，我们便得出以下的定理：

给定以下形式的微分方程：

其中I和J在R2的单连通开子集D上是连续可微的，那么势函数F存在，当且仅当下式成立：

编辑本段解
给定一个定义在R2的单连通开子集D上的全微分方程，其势函数为F，那么D内的可微函数f是微分方程的解，当且仅当存在实数c，使得：

对于初值问题：

我们可以用以下公式来寻找一个势函数：

解方程：

其中c是实数，我们便可以构造出所有的解。

参考资料：Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. New York: Wiley, 1986.

Ross, C. C. §3.3 in Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 2004.

Zwillinger, D. Ch. 62 in Handbook of Differential Equations. San Diego, CA: Academic Press, 1997.

Answer 2

若P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y),则称Pdx+Qdy=0为全微分方程,显然,这时该方程通解为u(x,y)=C(C是任意常数).

方程中的未知数含有微分的情况，只要有dx 对于未知数x 这就是个全微分方程

Answer 3

若P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y),则称Pdx+Qdy=0为全微分方程,显然,这时该方程通解为u(x,y)=C(C是任意常数). 　　根据二元函数的全微分求积定理:设开区域G是一单连通域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为某一函数u(x,y)的全微分的充要条件是P'(y)=Q'(x),在G内恒成立.