Question

已知a1=2,点(an,an+1)在函数F(x)=x2+2x的图像上，其中n=1,2,3... （1）证明数列{lg(1+an)}是等比数列

(2)设Tn=(1+a1)(1+a2)...(1+an),求Tn及数
列{an}的通
(3)记bn=1/an+1/an+1，求数列{bn}的前项
和sn，并证明sn+2/3Tn-1=1

Answer 1

1.点(an,an+1)在函数F(x)=x2+2x的图像上，
所以an+1=(an)^2+2an
即(an+1)+1=[(an)+1]^2
所以lg(1+an)=2lg[(an-1)+1]
故{lg(1+an)}是首项为lg3，公比为2的等比数例
2.由1）知{lg(1+an)}是等比数列
所以lg(Tn)=lg[(1+a1)(1+a2)...(1+an)]=lg(1+a1)+lg(1+a2)+...+lg(1+an)
=（2^n-1）lg3
lg(1+an)=2^(n-1)lg3
所以an=3*10^[2^(n-1)]-1

Answer 2

(1)点(an,an+1)在函数F(x)=x2+2x的图像上
An+1=An^2+2An
1+An+1=(1+An)^2
lg(1+An+1)=2lgAn
数列{lg(1+An)}是首项为lg(1+2) 公比为2的 比数列
（2）令Gn为数列{lg(1+An)}前n项和
则Gn=lg（1+A1）+lg（1+A2）+lg（1+A3）+。。。+lg(1+An)
=lg[(1+A1）*(1+A2)*(1+A3)*......*(1+An)]
=lg3*(2^n-1)
Tn=(1+A1）*(1+A2)*(1+A3)*......*(1+An)
= 10^[lg3*(2^n-1)] =3^2^n-1

Answer 3

由题意得,An+1=An^2+2An,
1+An+1=An^2+2An+1
1+An+1=(1+An)^2
1+An=(1+An-1)^2
lg1+An=2(lg1+An-1)
令Rn= lg(1+An)
则有Rn=2Rn-1 Rn/Rn-1=2,所以Rn是等比数列,{lg(1+An)}也是等比数列,公比为2
lgTn=lg[(1+A1)(1+A2)...(1+An)]=lg(1+A1)+lg(1+A2)+lg(1+A3)...+lg(1+AN)
{lg(1+An)}是等比数列,首项为lg3,公比为2
lgTn=(2^n-1)lg3
lg(1+an)=2^(n-1)lg3
所以an=3*10^[2^(n-1)]-1

第三问看不明白

Answer 4

第3小题有时间再给你做了。

Answer 5

=1/an+1/an+1，求数列{bn}的前项
sn+2/3Tn-1