Question

抽象代数：证明或反驳：有循环群<a>和<b>,且<a>=<b>, 则生成元a=b或a=b^(-1).

我客u好: 459281182

Answer 1

这个只要举一个例子即可，对于一个n阶的循环群，它的生成元为a^r，当且仅当r与n互素即可，因此b可以有很多种选择，而没有必要选b=a^(-1)即a^(n-1)。
因此你随便可以取n为一个素数，则任何非单位元都为生成元。如取n=5,<a>为5阶循环群，则a^2,a^3都为生成元，但是他们都不等于a^(-1)=a^4

Answer 2

显然不对。比如5阶循环群Z/5Z, 1和2都是它的生成元，但1!=-2(mod5).

追问

我不懂"Z/5Z", 只知道Z是整数。 谢谢。

追答

Z/5Z就是整数模5构成的群，这是群的经典例子啊~~
如果不了解也没关系，想想一般的5阶循环群就行。设五阶循环群G=={e(单位元),a,a^2,a^3,a^4}, a^5=e. 容易验证G=，而a!=a^2, a!=-a^2. 所以原命题不成立。