Question

求一曲线，这曲线过点（0,1），且它在点（x，y）处的切线斜率等于x-y.

Answer 1

求一曲线，这曲线过点（0,1），且它在点（x，y）处的切线斜率等于x-y.
解：依题意有dy/dx=x-y.................(1)
这是一个线性方程。为了解这个方程，先考虑方程：
dy/dx+y=0....................................(2)
方程(2)叫做对应于原方程(1)的齐此线性方程。分离变量后得：
dy/y+dx=0，积分之得lny=-x+lnC₁，故y=e^(-x+lnC₁)=C₁e^(-x).
其中C₁为任意常数。为了求解，我们用参数变易法：把C₁换成x的函数u而令
y=ue^(-x).......................................(3)
于是dy/dx=(du/dx)e^(-x)-ue^(-x).....(3′)
将(3)和(3′)代入(1)中以定u：
(du/dx)e^(-x)-ue^(-x)=x-ue^(-x)
于是得(du/dx)e^(-x)=x，分离变量得：du=xe^xdx
积分之得u=∫x(e^x)dx=∫xd(e^x)=xe^x-∫(e^x)dx=xe^x-e^x+C=(x-1)e^x+C
代入(3)式即得y=[(x-1)e^x+C]e^(-x)=x-1+Ce^(-x)
将初始条件x=0时y=1代入,得1=-1+C，∴C=2，于是得曲线方程为：
y=x-1+2e^(-x).
【对此结果作个检验：y=x-1+2e^(-x)，e^(-x)=(y-x+1)/2，且x=0时y=1，
而dy/dx=1-2e^(-x)=1-2[(y-x+1)/2]=x-y，结果完全正确！】

追问

能不能不涉及微积分，用2次方程解决这个问题呢

追答

满足题目要求的函数是y=x-1+2e^(-x)，根本不是二次函数，怎么能用二次方程解决呢？
这种问题，用初等数学无能为力！只能用微分方程求解，而且这个微分方程还不是那么好解的！

Answer 2

设曲线方程为y=f(x)，则f(0)=1，
在（x，y）处的斜率为y'=f'(x)
所以得微分方程y'=x-y
解得y=C[e^(-x)]+x-1
代入f(0)=1，得C=1
所以所求的曲线为
f(x)=e^(-x)+x-1

追问

能不能不涉及微积分，用2次方程解决这个问题呢

追答

同意另一位的回答。这类题目不能用二次方程解决，
因为题目中的“斜率=x-y”就已经确定了这是个微分方程问题，
二次方程对此是没有什么作用的。

不好意思，稍作改正：
设曲线方程为y=f(x)，则f(0)=1，
在（x，y）处的斜率为y'=f'(x)
所以得微分方程y'=x-y
解得y=C[e^(-x)]+x-1
代入f(0)=1，得C=2
所以所求的曲线为
f(x)=2e^(-x)+x-1