Question

从盛满二十升的容器里倒出一升，然后用水填满，在到处一声混合溶液后又用水填满，这样继续进行，如果到第k

从盛满二十升的容器里倒出一升，然后用水填满，在到处一声混合溶液后又用水填满，这样继续进行，如果到第k次（k大于等于一）是共倒出纯酒精x升，设到第k+1共倒出酒精f(x)升，求f(x)的解析式

Answer 1

20-1+1-1+1-x=k=1

Answer 2

递推法：
k=1,f1 = 1
k=2,f2 = (20-f1)/20 = 1-f1/20 = 19/20
k=3,f3 = (20-f1-f2)/20 = 1-f1/20-f2/20 = 19/20 - 19/400 = (19/20)^2
k=n,fn = (20-f1-f2-...-f(n-1))/20 = 1-f1/20-f2/20-...-f(n-1)/20 = (19/20)^(n-1)
到第k次共倒出x升，即∑(1~k) fn = 20*k-(k-1)*f1-...-1*f(k-1) = x ...①
到第k+1次共倒出f(x)升，即∑(1~k+1) fn = 20*(k+1)-k*f1-...-1*f(k) = f(x) ...②
② - ①得到 f(k+1) = f(x)-x = (19/20)^k
f(x) = (19/20)^k+x

追问

答案最后等于（19/20)x+1