Question

考研高等数学。这道化简题，我画横线的地方怎么变成1－1＝0的？是把前试的ln（1＋x）等价于x么？

考研高等数学。这道化简题，我画横线的地方怎么变成1－1＝0的？是把前试的ln（1＋x）等价于x么？那么问题来了。等价无穷小替换定理，是整个式子中的乘除因子可以等价，部分式子不能用等价。这道题可以化成两个式子，那么就不能用等价了。怎么回事？

Answer 1

x→0时，ln(1+x)和x是等价无穷小, 即ln(1+x)~x，所以 ln(1+x)/x→1

你后面说的，估计是只刻板地记得了老师或课本上说的某一部分，请看下面图片：

Answer 2

解答：
一般几个式子相加减的时候不能用等价无穷小，但是你是否知道原因？
举个例子：
lim(x→0)(tanx-sinx)/x^3,
如果这个极限用等价无穷小，那么就是∞-∞，显然无结果！
这道题之所以不能用，是因为用等价无穷小先使用了极限运算法则：
lim(x→0)(tanx-sinx)/x^3=lim(x→0)tanx/x^3-lim(x→0)sinx/x^3
因为lim(x→0)tanx/x^3和lim(x→0)sinx/x^3都不存在，所以不能运用极限运算法则。

因为lim(A±B)=limA±limB要满足A和B都存在。

而你这道题，lim(x→0)[1/xln(1+x)-1]=lim(x→0)(1/xln(1+x)-1
显然极限lim(x→0)(1/xln(1+x)是存在的，存在就可以使用等价无穷小

所以，采用这种加减法的等价无穷小时，要看拆项之后各项极限是否存在。

追问

恩。是的，但是那个存在是单独提出来的。如果带着整个方程算的话。感觉又有问题了。

追答

你写的这个拆项之后1/x的极限不存在，不能使用等价无穷小

追问

对啊，我画横线的那一部就是这个整体的一个分子。既然不能使用等价无穷小，那个划横线的是怎么得到的1。迷糊了。我不知道哪个地方绕进去出不来了。

追答

哈哈，你理解错了，它整个分子不是利用ln(1+x)~x，而是运用e^x-1~x

将分子e^[1/xln(1+x)-1]看做一个整体，其中1/xln(1+x)这个整体就相当于e^x-1中的x
因为e^x-1~x的前提条件是x→0，为了e^[1/xln(1+x)-1]能够使用等价无穷小，先要证明1/xln(1+x)是趋近于0的。于是就有了你画横线的那一步。

所以：e∧[(1/xln(1+x)－1]就等价于1/xln(1+x)－1

不好意思，e∧[1/xln(1+x)－1]后面还漏了一个减1，你自己加上去

我重新写过一遍： 将分子e^[1/xln(1+x)-1]－1看做一个整体，其中[1/xln(1+x)－1]这个整体就相当于e^x-1中的x
因为e^x-1~x的前提条件是x→0，为了e^[1/xln(1+x)-1]－1能够使用等价无穷小，先要证明[1/xln(1+x)－1]是趋近于0的。于是就有了你画横线的那一步。
因为1/xln(1+x)－1趋于0，所以e∧[(1/xln(1+x)－1]－1就等价于1/xln(1+x)－1

追问

谢谢。这道题我想好久。高数都没信心了。

你这手打一个个符号也真辛苦。采纳前加分就好了

追答

你搞懂了没有

追问

懂了。e∧x－1应该看成一个整体去等价。我的问题在于，我把e∧x与－1分开了。 如果说。lim（x→0）1/x（e∧2－2） 就不可以分解成lim（x→0）（e∧2－1）╱x－lim（x→0）1╱x，因为1/x不存在。

数学大神，是么？

追答

是的。。你给我发的第二张图片的第三步就不应该拆开，在第二步就应该使用等价无穷小

Answer 3

ln(x+1)在x趋近于零的时候无限接近0
而1/x在x趋近于零的时候趋近无穷
两个相乘就可以视为1

追问

为什么可以视为1？