Question

关于高数中凑微分的问题

比如∫(2x+1)²dx，凑微分=1/2∫ (2x+1)² d(2x+1)=1/2∫ udu
那这个题∫ lnx/x dx凑微分=∫ udu，为什么∫前面不乘以一个1/x ? 上面的题都乘了个1/2,
不是说的凑好微分后要考查和dx的关系吗，上面题凑微分是dx的2倍所以乘1/2，下面的是
1/x dx，为什么就不乘呢？ 求解答~~

Answer 1

在积分运算中，经常要使用“凑微分”的手段。其目的是为了便于使用现有的积分公式。而基本
规则是：遵守“恒等变换”的原则。
例如，∫(2x+1)²dx=(1/2)∫ (2x+1)² d(2x+1)=(1/2)∫ u²du 【注意不是(1/2)∫ udu 】
这是因为(1/2)∫ (2x+1)² d(2x+1)=(1/2)∫ (2x+1)² (2dx)=∫(2x+1)²dx，故前面要乘个(1/2)，否则两边
就不相等啦！
而∫ (lnx/x )dx=∫ lnxd(lnx)，是因为∫ lnxd(lnx)=∫ lnx(dx/x)=∫ (lnx/x )dx的缘故。
运算是否有错很容易检查：再变回去，看和原来的是否一样！若一样，就对了；若不一样，就错了！

Answer 2

∫(2x+1)²dx
=1/2∫ (2x+1)² d(2x+1) --- 因为d(2x+1)=2dx,所以前面要有个1/2,来和这里出现的2相消
=1/2∫ udu ---这里的u=2x+1

∫ lnx/x dx
=∫ lnx d(lnx) ---因为d(lnx)=1/x dx
=∫ udu ---这里的u=lnx

追问

d(lnx)=1/x dx 那么，2dx同样是d(2x+1)的微分，2就是2x的导数，为什么要乘一个1/2呢？

追答

其实已经说很清楚了，
因为d(2x+1)=2dx
所以：∫ (2x+1)² d(2x+1)=∫ (2x+1)² *2dx=2∫(2x+1)²dx
由：∫ (2x+1)² d(2x+1)=2∫(2x+1)²dx， 两边除以2，就有：∫(2x+1)²dx=1/2∫(2x+1)² d(2x+1)

Answer 3

把lnx看成u，lnx的导数不就是1/x吗？凑du需要乘1/x，式子（lnx/x） 里就有1/x了且刚好是lnx的导即u的导，不需要再乘以它（1/x）就可解了