Question

高等数学二重积分的有关计算

区域D是由x轴与抛物线y=4-x^2在第二象限内的部分及圆x^2+y^2-4y=0在第一象限内的部分所围成的区域。
请分别对x积分和y积分，二重积分的一般式为∫∫f(x,y)dxdy 清晰的说明如何找到x 和 y的范围的 谢谢！

Answer 1

　　二重积分的计算方法如下：
　　设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi表示第i个子域的面积.在Δδi上任取一点(ξi,ηi),作和lim n→+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ,即
　　∫∫f(x,y)dδ=lim n→+∞ （Σf(ξi,ηi)Δδi）
　　这时,称f(x,y)在D上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)dδ称为被积表达式,dδ称为面积元素, D称为积分域,∫∫称为二重积分号.
　　同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
性质
　　性质1 （积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即
　　∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ
　　性质2 （积分满足数成） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即
　　∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k为常数）
　　性质1与性质2合称为积分的线性性。
　　性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ
　　推论 ∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y）∣dσ
　　性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区间D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，
　　则mσ≦∫∫f(x,y)dσ≦Mσ
　　性质5 如果在有界闭区域D上f(x,y)=1, σ为D的面积，则Sσ=∫∫dσ
　　性质6 二重积分中值定理
　　设函数f(x,y)在有界闭区间D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得
　　∫∫f(x,y)dσ=f(ξ，η）●σ

Answer 2

积分区域 D 是由 x 轴与抛物线 y=4-x^2 在第二象限内的部分
及圆 x^2+y^2-4y=0，即 x^2+(y-2)^2=4 在第一象限内的部分所围成的区域。

则 ∫∫ f(x,y)dxdy
= ∫<-2,0>dx ∫<0,4-x^2> f(x,y)dy + ∫<0,2>dx ∫<-√(4-x^2),√(4-x^2)> f(x,y)dy
是将二重积分分成两部分，其中第二部分对 y 积分是
从下1/4圆弧 y=-√(4-x^2) 到上1/4圆弧 y=√(4-x^2)；

或 ∫∫ f(x,y)dxdy = ∫<0,4>dy ∫<-√(4-y),√(4y-y^2)> f(x,y)dx,
其中对 x 积分是从左半抛物线 x=-√(4-y) 到右半圆弧 x=√(4y-y^2).

Answer 3

积分区域 D 是由 x 轴与抛物线 y=4-x^2 在第二象限内的部分
及圆 x^2+y^2-4y=0，即 x^2+(y-2)^2=4 在第一象限内的部分所围成的区域。

则 ∫∫ f(x,y)dxdy
= ∫<-2,0>dx ∫<0,4-x^2> f(x,y)dy + ∫<0,2>dx ∫<-√(4-x^2),√(4-x^2)> f(x,y)dy
是将二重积分分成两部分，其中第二部分对 y 积分是
从下1/4圆弧 y=-√(4-x^2) 到上1/4圆弧 y=√(4-x^2)；

或 ∫∫ f(x,y)dxdy = ∫<0,4>dy ∫<-√(4-y),√(4y-y^2)> f(x,y)dx,
其中对 x 积分是从左半抛物线 x=-√(4-y) 到右半圆弧 x=√(4y-y^2).