Question

如图 在△ABC中,CD⊥AB,DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为D,E,F.

(1)CA×CE与CB×CF相等吗？为什么？

(2)连接EF交CD于点O,线段OC,OD,OE,OF成比例吗？

用“相似三角形”这个知识点做！！！！！！

Answer 1

相等，因为都是直角三角形，△CED相似△CDA,所以CE/CD=CD/CA,CD*CD=CE*CA;
△CDF相似△CBD,CF/CD=CD/CB,CD*CD=CF*CB;
所以，CE*CA=CF*CB。
因为CE*CA=CF*CB，所以EF//AB,EF垂直于CD,四边形CEDF是正方形，所以，OC,OD,OE,OF成比例，而且都相等。

Answer 2

（1）相等，因为都是直角三角形，△CED相似△CDA,所以CE/CD=CD/CA,所以CD*CD=CE*CA;
又△CDF相似△CBD,所以CF/CD=CD/CB,所以CD*CD=CF*CB;
所以，CE*CA=CF*CB。
（2）因为CE*CA=CF*CB，所以EF//AB,EF垂直于CD,四边形CEDF是正方形，所以，OC,OD,OE,OF成比例，而且都相等。

Answer 3

（1）在RT△ADB中，DF⊥BC，CD^2=CF*BC,(直角三角形一直角边是其在斜边射影和斜边的比例中项，因RT△CDB∽RT△CFD，CD/BC=CF/CD），
同理，CD^2=CE*AC,
∴CA*CE=CB*CF。
（2），∵DF⊥CF，DE⊥CE，
∴〈CED+〈CFD=180°，
D、E、C、F四点共圆，
根据圆内相交弦定理，EO*OF=CO*OD，
OC/OF=OE/OD。
当然可以进一步去证明，
〈OCF=〈OED（同弧圆周角相等），
〈COF=〈EOD（对顶角相等），
△COF∽△EOD，
∴CO/EO=OF/OD，
但它们四者不是对应成比例，
即不是CO/OD=EO/OF，

Answer 4

(1)相等，因为∠ABC+∠BAC=∠ABC+∠DCB=90°，所以∠BAC=∠DCB,△ADC与△DCB相似，CA/DE=CB/DF,DFCE是矩形,CF=DE,CE=DF,所以CA/CF=CB/CE,CAxCE=CB×CF
(2)DFCE是矩形，o点为对角线交点，OE/OF=OC/OD

Answer 5

ACD与DCE、BCD与DCF相似
CA×CE=CD×CD=CB×CF
所以CAB相似CFE
<OFC=<A=90-<ECO
<OFD=90-<OFC=<ECO
COE相似FOD
CO/FO=OE/OD