如图 在△ABC中,CD⊥AB,DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为D,E,F.
(1)CA×CE与CB×CF相等吗?为什么?(2)连接EF交CD于点O,线段OC,OD,OE,OF成比例吗?用“相似三角形”这个知识点做!!!!!!...
(1)CA×CE与CB×CF相等吗?为什么?
(2)连接EF交CD于点O,线段OC,OD,OE,OF成比例吗?
用“相似三角形”这个知识点做!!!!!! 展开
(2)连接EF交CD于点O,线段OC,OD,OE,OF成比例吗?
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(1)相等,因为都是直角三角形,△CED相似△CDA,所以CE/CD=CD/CA,所以CD*CD=CE*CA;
又△CDF相似△CBD,所以CF/CD=CD/CB,所以CD*CD=CF*CB;
所以,CE*CA=CF*CB。
(2)因为CE*CA=CF*CB,所以EF//AB,EF垂直于CD,四边形CEDF是正方形,所以,OC,OD,OE,OF成比例,而且都相等。
又△CDF相似△CBD,所以CF/CD=CD/CB,所以CD*CD=CF*CB;
所以,CE*CA=CF*CB。
(2)因为CE*CA=CF*CB,所以EF//AB,EF垂直于CD,四边形CEDF是正方形,所以,OC,OD,OE,OF成比例,而且都相等。
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(1)在RT△ADB中,DF⊥BC,CD^2=CF*BC,(直角三角形一直角边是其在斜边射影和斜边的比例中项,因RT△CDB∽RT△CFD,CD/BC=CF/CD),
同理,CD^2=CE*AC,
∴CA*CE=CB*CF。
(2),∵DF⊥CF,DE⊥CE,
∴〈CED+〈CFD=180°,
D、E、C、F四点共圆,
根据圆内相交弦定理,EO*OF=CO*OD,
OC/OF=OE/OD。
当然可以进一步去证明,
〈OCF=〈OED(同弧圆周角相等),
〈COF=〈EOD(对顶角相等),
△COF∽△EOD,
∴CO/EO=OF/OD,
但它们四者不是对应成比例,
即不是CO/OD=EO/OF,
同理,CD^2=CE*AC,
∴CA*CE=CB*CF。
(2),∵DF⊥CF,DE⊥CE,
∴〈CED+〈CFD=180°,
D、E、C、F四点共圆,
根据圆内相交弦定理,EO*OF=CO*OD,
OC/OF=OE/OD。
当然可以进一步去证明,
〈OCF=〈OED(同弧圆周角相等),
〈COF=〈EOD(对顶角相等),
△COF∽△EOD,
∴CO/EO=OF/OD,
但它们四者不是对应成比例,
即不是CO/OD=EO/OF,
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(1)相等,因为∠ABC+∠BAC=∠ABC+∠DCB=90°,所以∠BAC=∠DCB,△ADC与△DCB相似,CA/DE=CB/DF,DFCE是矩形,CF=DE,CE=DF,所以CA/CF=CB/CE,CAxCE=CB×CF
(2)DFCE是矩形,o点为对角线交点,OE/OF=OC/OD
(2)DFCE是矩形,o点为对角线交点,OE/OF=OC/OD
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ACD与DCE、BCD与DCF相似
CA×CE=CD×CD=CB×CF
所以CAB相似CFE
<OFC=<A=90-<ECO
<OFD=90-<OFC=<ECO
COE相似FOD
CO/FO=OE/OD
CA×CE=CD×CD=CB×CF
所以CAB相似CFE
<OFC=<A=90-<ECO
<OFD=90-<OFC=<ECO
COE相似FOD
CO/FO=OE/OD
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