Question

如图,等腰三角形ABC和等腰三角形ADE中,AB=AC,AD=AE,∠CAB=∠EAD,试说明：△ACE≌ΔABD

Answer 1

如图，在△CAB和△EAD中，∠CAE=∠BAD，BC=DE．（1）请你选择以下条件：①AB=AD；②∠C=∠E；③∠B=∠D；④∠CAB=∠EAD中的一个条件，使得△CAB≌△EAD，并说明理由．（只要选一种即可）（2）在（1）的前提下，若AB=12x-2 ，BC=2x-y+7，AC=（y-6）2，AD=72 x2-4 ，DE=7 2 x-y+1，AE=4，请解决以下问题：①分别求出x，y的值；②化简：1 xy +1 (x+4)(y+4) +1 (x+8)(y+8) +1 (x+12)(y+12) +…+1 (x+4n)(y+4n) ．（n为正整数）考点：全等三角形的判定；有理数的混合运算；解分式方程；三角形三边关系．分析：（1）可以选择②，然后根据已知条件求出∠CAB=∠EAD，再利用AAS定理从而证得△CAB≌△EAD；（2）根据①可得AB=AD，即12 x-2 =72 x2-4 ，然后解出x的值，利用此方法依次求出BC=DE或AC=AE，从而解出x的值，再由三角形三边关系判断是否合题意，最后得出正确答案，x=4，y=8．②把x、y的值代入方程，然后展开化简即可．解答：解：（1）可以选择②∠C=∠E或③∠B=∠D，中的一种．∵在△CAB和△EAD中，∠CAE=∠BAD，BC=DE，∴∠CAB=∠EAD，又∵∠C=∠E，∴△CAB≌△EAD（利用“AAS”）
（2）①由（1）得AB=AD，12 x-2 =72 x2-4 ，解得x=4，经检验x=4是原方程的根，所以x=4；或（BC=DE）2x-y+7=7 2 x-y+1解得x=4；或（AC=AE）由（y-6）2=4，解得y=8或4；当x=4，y=8时，AB=AD=6，BC=DE=7，AC=AE=4；当x=4，y=4时，AB=AD=6，BC=DE=11，AC=AE=4，此时三角形不能构成，因此不合题意．所以x=4，y=8．②当x=4，y=8时，原式=1 4×8 +1 8×12 +1 12×16 +1 16×20 ++1 (4n+4)(4n+8) ，=1 16 [1 1×2 +1 2×3 +1 3×4 +…+1 (n+1)(n+2) ]=1 16 （1-1 2 +1 2 -1 3 +1 3 -1 4 +…+1 n+1 -1 n+2 ）=1 16 （1-1 n+2 ）=n+1 16n+32 ．点评：本题考查三角形全等的判定方法、有理数的混合运算、解分式方程以及三角形三边关系；在判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

Answer 2

∠CAB=∠EAD
∴∠CAB-∠EAB=∠EAD-∠EAB
∴ ∠CAE=∠EAB
AB=AC
∠CAE=∠EAB
AD=AE
∴ △ACE≌ΔABD 两边对应相等 夹角相等的两个三角形全等

Answer 3

证明：
∵∠CAD=∠EAD
∴∠CAD-∠EAB=∠EAD-∠EAB
即：∠CAE=∠BAD
在△ACE和ΔABD中
AB=AC
∠CAE=∠BAD
AD=AE
∴：△ACE≌ΔABD（SAS）

Answer 4

证明：
∵∠BAC=∠DAE
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE
∴∠CAE=∠BAD
∵AC=AB，AE=AD
∴△CAE≌△BAD（SAS）