Question

对弧长的曲线积分

∫X²yz ds,其中曲线为折线ABCD，这里A,B,C,D为（0,0,0）（0,0,2）（1,0,2）（1,3,2）。分析越详细越好，有追分

Answer 1

　　解：∵ds=√(dx²+dy²+dz²)
　　∴∫(ABCD)x²yzds=∫(ABCD)x²yz√(dx²+dy²+dz²)
　　∵从A(0,0,0)到B(0,0,2)时，z从0变到2，x,y值没有变化(x=y=0,dx=dy=0)
　　∴∫(AB)x²yzds=∫(AB)x²yz√(dx²+dy²+dz²)
　　=∫(0,2)0²×0×zdz
　　=0
　　∵从B(0,0,2)到C(1,0,2)时，x从0变到1，y,z值没有变化(y=0,z=2,dy=dz=0)
　　∴∫(BC)x²yzds=∫(BC)x²yz√(dx²+dy²+dz²)
　　=∫(0,1)x²×0×2dx
　　=0
　　∵从C(1,0,2)到D(1,3,2)时，y从0变到3，x,z值没有变化(x=1,z=2,dx=dz=0)
　　∴∫(CD)x²yzds=∫(CD)x²yz√(dx²+dy²+dz²)
　　=∫(0,3)1²×2×ydy
　　=(y²)│(0,3)
　　=9
　　故原式=∫(ABCD)x²yzds
　　=∫(AB)x²yzds+=∫(BC)x²yzds+=∫(CD)x²yzds
　　=0+0+9
　　=9。