Question

在圆内接四边形ABCD中，AD=2，BC=1,∠A=60°，∠D=90°，求AB和CD的长。

在圆内接四边形ABCD中，AD=2，BC=1,∠A=60°，∠D=90°，求AB和CD的长。

Answer 1

由于圆内接四边形内对角互补，故角B也是直角。角C为120度。连接AC,DB。在直角三角形ABC与直角三角形ADC中，用勾股定理得AB*AB+1=CD*CD+4，设AB=x,CD=y,则有x^2-y^2=3；.......(1).
在△ABD中，用余弦定理导出BD*BD=4+x^2-2x.
在△BCD中，用余弦定理导出BD*BD=1+y^2+x.
二式相减，得x^2-y^2+3-2x-y=0...............................................................................................(2).
(1)-(2)得 y=6-2x.....................................................................................................................(3).
(3)式与（1)式联立，解一元二次方程，得x=4-根号3（4+根号3，大于直径，不符题意，舍去）。
y= -2+2根号3。

Answer 2

解：设AB=X，CD=Y
连接AC，BD
∵ABCD是圆的内接四边形
∴∠ABC+∠ADC=180度，∠BAD+∠BCD=180度(圆的内接四边形对角互补)
又 已知 ∠A=60度,∠D=90度
从而 ∠ABC=180度-∠D=180度-90度=90度
∠BCD=180度-∠A=180度-60度=120度
在直角三角形ABC与直角三角形ADC中，由勾股定理，得
AC^2=AB^2+BC^2,AC^2=AD^2+CD^2
则 AB^2+BC^2=AD^2+CD^2
X^2+1=2^2+Y^2
X^2=Y^2+3 ①
在三角形ABD与三角形BCD中，由余弦定理，得
BD^2=AB^2+AD^2-2*AB*AD*COS∠A
BD^2=BC^2+CD^2-2*BC*CD*COS∠BCD
则 AB^2+AD^2-2*AB*AD*COS∠A=BC^2+CD^2-2*BC*CD*COS∠BCD
X^2+2^2-2*X*2*COS60度=1^2+Y^2-2*1*Y*COS120度
X^2+4-2X=1+Y^2+Y
X^2=2X+Y^2+Y-3 ②
由①②得 Y^2+3=2X+Y^2+Y-3
化简,得 Y=6-2X ③
　　将③代入①，得 X^2=(6-2X)^2+3
X^2-8X+13=0
∴X1=4-√3，X2=4+√3
从而 Y1=6-2X1=6-2*(4-√3)=2(√3-1)
Y2=6-2X2=6-2*(4+√3)=-2(√3+1)
∵Y2<0 ∴X2及Y2的值不合题，舍去。
因而 X=4-√3,Y=2(√3-1)
∴AB=X=4-√3，CD=Y=2(√3-1)

Answer 3

延长AB、DC相交于E，则∠BCE=∠A=60°，同理∠EBC=∠ADC=90°，∴∠CEB=30°
∴EC=2BC=2，BE=√3BC=√3，同理AE=4，ED=2√3
∴AB=AE-BE=4-√3，CD=ED-EC=2√3-2