Question

x,y∈(0,+∞),x+2y+xy=30,求x+y的取值范围

答案是x+y∈[8√2-3,30),求详细解答过程!!!

Answer 1

x+2y+xy=30,

则y=(30-x)/(x+2),

因为y>0, (30-x)/(x+2) > 0,

所以0<x<30.

设x+2=t,则x=t-2,2<t<32.

x+y= x+(30-x)/(x+2)

=t-2+(32-t)/t

=t-2+32/t-1 

= t+32/t-3……利用基本不等式

≥2√(t•32/t)-3=8√2-3.

函数t+32/t在[0,4√2]上递减，在[ 4√2,+∞）上递增，

因为2<t<32，所以t=32时，t+32/t最大，t+32/t-3<30.

∴x+y∈[8√2-3,30).

Answer 2

(x+2)(y+1)=32 则，x+2+y+1变成x+2+32/(x+2)，考虑函数单调性可得最小值8√2，最大值32~然后就是结果了~