Question

在三角形ABC中，角BAC是90度，AD垂直BC,BE、AF分别是角ABC、角DAC的平分线，BE和AD交于G，BE和AF交于O，

证明：GF平行于AC

Answer 1

只需用到这样一个定理：三角形顶角平分线将底边分成的两部分的比等于另外两条边的比。
本题：
AG：GD=AB：BD，CF：FD=AC：AD
而AB：BD=AC：AD（两直角三角形相似）
所以AG：GD=CF：FD
所以GF平行于AC。

Answer 2

在RT△ABC中，AD⊥CB，易得∠B=∠DAC,∠C=∠BAD,
∵∠BAF=∠BAD+∠DAF
∠BFA=∠C+∠CAF (AF平分角DAC)
=∠BAD+∠DAF
∴∠BAF=∠BFA
在△BAO与△BFO中
∠BAF=∠BFA (BE平分角ABC)
∠ABO=∠FBO
BO=BO
∴△BAO≌△BFO
=>AO=FO,∠GOA=∠GOF=90°
在△GAO与△GFO中
AO=FO,
∠GOA=∠GOF=90°,
GO=GO,
∴△GAO≌△GFO
=>∠GFA=∠GAF=∠FAC
∴GF∥AC

Answer 3

在RT△ABC中，AD⊥CB，∠B=∠DAC,∠C=∠BAD,
∵∠BAF=∠BAD+∠DAF
∠BFA=∠C+∠CAF (AF平分角DAC)
=∠BAD+∠DAF
∴∠BAF=∠BFA
在△BAO与△BFO中
｛∠BAF=∠BFA (BE平分角ABC)
∵｛∠ABO=∠FBO
｛BO=BO
∴△BAO≌△BFO
∴AO=FO,∠GOA=∠GOF=90°
在△GAO与△GFO中
｛AO=FO,
∵｛∠GOA=∠GOF=90°,
｛GO=GO,
∴△GAO≌△GFO
∴∠GFA=∠GAF=∠FAC
∴GF∥AC